【实变函数】第二版 - 周民强.pdf
实变函数(第二版) 周民强 编著 北京
引言 -、谈谈Riemann积分 实变函数的中心内容是Lebesgue(1875一1941)测度与积分理 论,它是Riemann(1826一1866)积分的推广与发展,创立于20 世纪初期,为近代分析奠定了基础。因而,在这里对Riemann积 分理论作一简单回顾,将会有助于我们今后的学习.在数学史上,第一个提出用分割区间、作和式的极限来严格 地定义积分的要推Cauchy(1789一1857)他考察的积分对象是在 [a,]上的连续函数,并用连续函数的中值性质来推导积分的存 在性(他还提出用极限来定义函数在无界区域上的积分以及函数 具有瑕点的积分)
积分教程的主要内容之一。然而随着Cantor(1845一1918)关于集 合论的一系列工作的创始,出现了具有各种“奇特”现象的函 数。对此不仅在研究函数的可积性,而且在积分理论的处理上还 发生了许多困难,下面就Riemann积分理论中的几个主要方面 来作一些简要分析。(一)可积函数的连续性 上面提到,函数的可积性是与等价的,由于式涉及两 个因素:分割小区间的长度(x,一x,-1)以及函数在其上的振幅(M,-m,)因此,为使成立,粗略说来,就是在-4-.0的 过程中,其振幅(M,-m:)不能缩小的那些相应项的子区间的长 度的总和可以很小(Riemann注意到,定义在[a, 
