有理数与无理数 江苏人民出版社 [有理数与无理数]

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有理数与无理数 唐复苏 江苏人民殿社一有理数 恩格斯指出:“数和形的概念不是从其他任何地方,而 是从现实世界中得来的。”(《反杜林论》)我们熟悉的自 然数、零和分数的概念,以及它们的大小比较、运算法则等 等,都是在实践中产生和发展起来的,并在实践中有着广泛 同时,随着数的概念的扩充,数的运算本身存在的矛盾 也逐渐得到解决,例如在自然数范围内,乘法的逆运算一 除法并不总是能施行的,引进分数以后,就解决了这个矛 那么,有了自然数、零和分数,是不是已经没有矛盾了 呢？是不是完全能够适应实践的需要呢？我们将会看到,现 实世界中还存在着许多量,只用这些数还不能够有区别地精 确地表示出来.水位上升7厘米与下降8厘米,如果规定上升为正,那 2 收入50元与支出10:05元,如果规定收入为正,那么 对于某一量的两种相反意义,究竟规定哪一种意义为正 的,并不是绝对的。正如恩格斯所指出的:“正和负可以看 作彼此相等的东西一一不管把哪方面当作正,把哪方面当作 负,都是一样的”(《自然辩证法》)如例1中,我们也 可以规定向西为正,这时向东5公里就应记作一5公里了,或 者可以说,向东5公里就是向西一5公里。但是,当我们把一 种意义规定为正以后,另一种与它相反的意义就必须规定为 负,决不能同时规定为正(或负)。当然,在处理实际问题 时,所作的规定应该合乎习惯,便于应用。