【复射影空间的Kaehler超曲面和实超曲面】.pdf

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复射影空间中的Kaehlr超曲面和实超曲面 盛卫民 §1.本文研究夏身影空间的两柔起面—Kach(e 赵尚面和实起曲面一的一些几何怕质.对于复射影空间的Kchlar由.面,S.kobayashi,k.Ogiue 系统的研究。最近几年,这方面的研究取得了 很大.的进居(参见[3])。kgiue在[8]中提公猜想:对于发射影空间的完各KachLar起曲面M,如果其 截曲率是正的,那么它是全测地的,在[9]中他 已证明:当n24时,结是成立的.对于n22,如果M是嵌入越曲面,则结改成立。本文对紧 致浸入超曲面的情形,完全能决了这个猜想,即证得 定理！方向:相.忘的主.曲率为:α(p),如果Bα(P)<0,P 则存在常数C,当子<(时,M必定是S中最 多具有三个不同常主曲率的等参超曲面.这里的茶件Bxp)<0与M的单位法向量的送 取无关,因此,是一个几何不变量。将定理2 转化为(中实面的情况,即得 定理3设M1²-是(P真有常平均率B的紧致实超甫面。记M上点P处的最大方 向想应的主曲率为α(P)。如果αp)<0,VPM,则) 存在常数C>0,当于≤C时,M必为p”中的于 最后,我们考虑(P中的极小实起曲面:利用H.h(x,Y)=g(Agx,),k(x,)=g(JAgx,Y)A=JAg-AJVJ=JVx3设R,R和R分别表六相应于联络,口和 D的曲率张量,我们有[16](x,)=g(2)-g(x,)+g(2)Jx g(x,2)+2gR(x,Y)W=R(x,Y)W-{g(Ar,W)-g(Asx,W)Asr} -{8(JAsY,W)Agx-g(JAsX,W)AgY 用K(P)表示M上由 2维切平面P所确定的 截曲率,{X,Y}是P的一组标准正交基,则(p)=K(p)-{g(Agx,x)g(AsY,r)-g(Asx,)²} -{g