【保园几何学的一些定理】.pdf

【保园几何学的一些定理】.pdf

保园几何学的一些定理 蔡开仁 §0.引言 K.Yamo在黎愛空间Vn中引进了刚地园的概念,把三维欧氏空 间中的因—曲幸为常数,提率而零的曲浅加以稚广,将黎曼空间V 中第一曲苹为常数,第二曲率为零的曲线称为黎受空间后的刚地园.并在正是度量下建主了则地国的微分方程:从,L=,还研究了保因变换.呼谓黎受空间V存在保因变换是 指存生另一黎曼空间沉,在V分到分的一个共形对应下,分的刚地园对 应到的则地国.K.Yano确走了存在得国变接的黎曼空间Vin的浅素 形式 ds²fx)9(xi)dxdx+(dx)}²,.j.k=1,,n-1,(0.到称V是的全阶虽子空间.若V中曲线x(S)在V中的表示为(s),有 Sy Sy xxSy 8x 其中表示侣曲线的共变极育,分号表示广义协变微商,住意到 不难称得xi8xsx =1,可得 ²x而 Sx.Sx。x15x*表示听的则地园的做兮方程,由常微分才程但的理论可知,在听的一 点(x),对于苗足(1)的什意初值 dxi x,9 =dss=s.才程组存互唯一积分曲浅(x,夜x(s。)=x.dx)=a 8x(s.as 8xjxk 从而积分曲(xs)的每点上,成至.从 由惑的任意性和發的独主理,有 Sxh -α1h-pax1h =0,至样,我们便证明了 引理.黎曼空间的子空间听是全刚地国的充要柔件为小V是 全脐点的,.V的一些上的任意n一r个相至正交的法方向的平均曲 年2x1和共变向量Mβα1药足偏微分才程组.往.在超曲面Vx-的塔况.才程泪变成2.h=0.从而年 均曲年2为常数,这时引理的内言已为K.Yano弥要得,为后面使用 方夜起见,记为 定理A.Vn的超曲面Vn-1是全刚地国的充要条件为Vn-1是Vn的 具有常鼓平均曲率的全脐些超曲面.