【微分几何五讲】上海科学技术.pdf

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微分几何五讲 苏步青第 讲 欧氏平面曲线的几个整体问题 一、等周问题 1.等周不等式在具有定长的一切平面单纯闭曲线C中,圆 是最大面积的曲线．换言之,设A是一条长为L的单纯闭曲线围 成的面积,那末 L²-4πA≥0,式中等号当且仅当0是圆时成立.证明很多,最简单的要算E.Schmidt的证明．我们在 这里介绍改良后的Hurwitz方法,即用Fourier级数的方 法．为此,先证 Wirtinger引理设f(t)是周期2π的周期连续函数,而且 导函数f(t)也连续.如果(² f(t)dt=0,那末 P[f]2.Cchmidt证明设C是单纯闭曲线．我们把C围在两 平行线g,9之间,使C和9,9分别在点 P,Q相切．设s=0,8o是P,Q的参数.作一个圆C,使与9,g在P,Q分别相切.用0记圆心,并取它为坐标原点．设其半 径为r.令 X(s)=(s),∞2(s) 为C上一点的位置向量,使得(c,∞(O)=(a(L),α2(L),式中L如前表示C的周长.我们取(c(s),2(s)作为C的位置向量,使得 =, 图1.