【解析函数】人民教育.pdf

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解析函数 解析函数是可以用幂级数 表示的函数,在数学的基本间题中及其在自然科学与工程技术 的应用上,所用到的一些最簡单而叉最重要的面数,如代数函 效、指数函数、对数南数、三角函数、反三角两数(国两数)、双曲 筏函数及其反函数、特殊两数-椭圆断数、桂函数等等,都是 解析函数。但在給定某一具体解析荫数的时候,給定的方式不 必一定是幂级数.重要的只是:这种筹级数是存在的。例如 a.x 为有展开式 A A 有在的缴放。如要验證这 a-xo！点,我們只要指出:般数是以 a-x a-xo 的凡何級数。在一般情形下,要得到表示所給解析函数的幂級 数,可以用待定系数法。比,研究函数是否是解析的这个間题,就变为研究台劳公式的余 在无限增大时的性态如何的問题.而后一問题往往是非常 困难的間题。并且,要用这个方法搞清楚象以下这-一类的間题 也是同样困难的,例如:取哪些值时,表示所洽函数的秋致是 收效的.对于哪些值所給两数的反函数是解析的.对于哪些c 值函数的函数是解析的,等等。法国数学家柯西的功精在于:他 指出了:如果不仅就变量的实数值而也就虚数值以及-般的支 数值来研究解析菌数,那末这些間题以及其他許多問超都可得 到解决。解析菌数的理盒,由于对复变量解衍函数作系统研究 而获得的成就是这样的互大,以致我們今日常常把解析荫熨 称为复变函数。曲裁积分作为出发点。这就是,为确定八2)在某曲綫(可求长 的)L上的积分,我們用点z0,21,22,2n把这曲裁分为儿段小 弧o1,2,,,然后在每段弧上取一点,写出积分.f(Sk)2-1(2k-1=2-Zx-1)=1 现社刘果再把分点的数目这样地无限增多,使得最大一个 小弧段o的长度趋于零,那末积分和也趋于一定的极限,这个 极限記为f(z)dz,称为f(z)在曲L上的积分。f(z)dz是个 复数,它的实部与虚部可用函数9与中的曲綫积分的形式来表 示:f(z)dz dx+gdy L 如果我們假定:在含有曲工的域G上是可微分的,那木 中的两个方程,改写成形式 xe