【复变数函数论二】教务处教材科长春.pdf
目錄 第四章函数的展开式 4解析函数的幂级数展开式 4解析函数的唯一性 .4解析函数的零点 4单值函数的孤立奇点 4解析函数的罗朗展开式罗朗展开式与孤立奇点的关系解析函数在無限远点的性質 4最簡單的解析函数.第五章残数理及其应用 5残数基本定理 S5在極点上残数的計算 5关於零点个数的定理 5关於残数理的应用 5残数理在有理函数的最簡分式展开的应用 第六章整函数与半函数 6無翁乘 6.
第四章函數的展開式 54解析函數的慕級數展開式 1°解析函數的幂殺数展開式 以前我們已經看到,任意一调幂数,只要宅的收效半径是正数,其和在收敏 回内代表一個解析函數。這调性質是很重要的.但在解析函數的研究上,幂级数的所 以重要,還不是以道调性寶基,因凡是各项解析函數的一致收效殺数的和 在其收效區域内都代表一偏解析菌數,其所以重要倒是因盒這偏性質的逆定理的正 確,即:每一個解析菌數可以展開成幂級數,而且遣種展開式遗是唯一的。因之徙 全部可能的幕級数,就可以得到全部對應的解析函數。
一127- 现在再来明fz)的幂级数展開式是唯一的.事實上,設在中心為a,半径(∈P)的C1内,f(z)可以展成另一幂级 x 數βk(z-a)k,即f(z)=≥iβk(z-a),则當z=a時,βo=(a),叉 k=0 f′(z)=βkk(z-a)k-1 k=1 命z=a時,则得β1=f(a).用同樣方法,一般可得:f(k)(a) βk- k!f(k)(a), 而Ck= k!故f(z)的展開式是唯一的.在寶變函数的情形下,即使函敷具有各级的尊函數,医數亚不一定能展開成幂 殺數。但在復變函数情形,只要函数在所考虑的隔域内到處都有一附導函数存在,即可以展成幂级數。 
