【几何与代数】.pdf

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几何与代数 第一章 平面上的坐标 解析儿何是用代数运算的方法解决儿何問題。这就需要首先把几何与代数密切 的结合起来,不但把点与数并且也把图形与方程联系起来。这种联系即所坐标.笛卡尔(Descartes)首先在平面上建立了坐标,开創了解析儿何.形与数之間的最显然的連系当然是段的长度,这也是笛卡尔建立坐标的依据.注意:以后凡到长度时,除非另外声明,总假定已取好一个固定的长度单 位:所有的长度都是用这同一个单位来量的.81直線上的坐标 在-直上,任取一点O及-方向X,台称为一坐标系[O.X].0叫原点,它把直分成两条半,指向X的那条称为正华,另-一条称为负半(如图1)。坐标動上户有了坐标系(如图3)图3.平面上的一点P由它在坐标轴上的垂足Px和Py完全决定。垂足在各坐标轴上的 坐标x,y合称为P对于[O.X,Y}的坐标(x,y),这就是笛卡尔所最先建立的坐标,故称为笛卡尔坐标也称为直角坐标.平面上的每一点何唯一的-一对坐标。反之,任給一对实数(x,y),就在坐标 轴上各定一点,过此二点作所在坐标轴的垂就决定一交点P,P的坐标显然是(x,y)总之,在平而上,-个坐标系在点与二元实数組之間建立了一个一一对应关 系.对于取定的坐标系,我們用P(x,y)表示一点其坐标为(x,y)取定坐标系 的平面称为坐标本面.解出y的方程y=f(x)是方程F(x,y)=0的特殊情形,在分析中常用这种形式的 方程表示曲.对于給定的坐标系,曲由其方程完全確定,因此,关于曲义的問题可以用它 的方程来描述.解析几何研究的問题主要是:1)从曲的儿何性質求其方程,反之,2)从曲 的方程来讨曲的儿何性質.現在我們以最簡单的曲一园周—为例,来明这些概念.例1.明以M(x,yo)点为中心,R为半径的园的方程为(x-xo)²+(y-yo)²=R².证明.設M(x,y)是园上任意点(如图6),则由S2中的距离公式,点M的坐标应满足上 列方程.反之,坐标满足这个方程的点M与M 之距离为R,故在此园上,毕.图6.