【关於特徵四次型恒为零的二阶常系数线性偏微分方程组的一些定解问题】方伟夫.pdf

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关于特征四次型恒为零的二阶 常系数线性偏微分方程组的一些定解问题 1综述与引言 在线性偏微分方程的研究中,方程的特征有着极其重妥的 意义由于特征的不同(实的或复的、单至的或多重的>,引 起了偏微分方程定解向题的提法、解的性质以及它们与低阶项 多关系等方否的很多差异。在这一节中,我们先对这个问题的 某些方百作一简妥的回硕.除特别声明外,本文所涉及的常、函故都是实常故、实 函.1偏微分方程(组)的特征与方程(组)的分类 设线性m阶偏微分方程为 Lu =∑ ax(x) nre =f(x)xxl≤m 其中x=园型的定义:若对∈Rn,≠0.K(x,)=Ax(x)+0 x-=m 设P(x)∈ C,若在x。处有.K(x。,gradp)=o.且 grad p(xo>≠o 则称(x)=(xo)是或(4)或(1)在X。处如特 征曲,grad Xo)为在Xo处的特征方向,由此可见,对于椭园型方程或方程组,在其定义域内没有 实特征方向或特征曲否.1关于椭园型方程和方程组 对于椭园型方程,通常的定解向题就是Dirich/et向题.对于一般的高阶椭园型方强的Dirichnlet向题,成立看 Freclholin.两择性; 设方程(1.了反例:二阶方程组 2u2u u =0; 2u2u22u2 =0 zhezxehexe 的特征多项式为(32+n2,是椭园型的,但在国域D=(x.1x2+g2≤R2}上.其齐次Drich1e+向题有无穷多个线性 无关解:n=t,2, 其中nβn是常故,(r,)为(y)的极坐标.究竟什么样的方程组才具有类似于单个椭园型方程的性质 呢？L.H.Bumuk引进了强椭园组的概念: 若在x处,矩阵Aα(x)对≠0是正定矩阵,1αl=m 则称(1:3)在x处是强椭园的;若对每-X∈2(1)是强椭 示矩阵A的对称化。