【常系数线性二阶偏微分方程组Dirichlet问题存在唯一解的充分必要条件】袁全.pdf

【常系数线性二阶偏微分方程组Dirichlet问题存在唯一解的充分必要条件】袁全.pdf

前 弄清一个肠微方程或方程组在什么各件下它的Dirichiet间 题有唯一解,无论在望论上或实际应用上都有很大意义,特别是 它和偏微分方程或方程组的分类密切相关.对单个方程的Dirichlet问题,人们早就知道得比较清楚了,但对于方程组,却发现它有许多和单个方程不同的性员,虽然进 行了长对间的探索,至今还未有比较理想的结果.设有方程组 ne Lu=(i) O 其中Aj是m阶实数方阵,Aj=Aji,L 是m维未知函 数天量。本世纪30年代,U、T、TeToBcku就对这类方程 组作过分类,得到了精国型方程组的概念:对于任意一组不全为 零的实数三,三》,满足 M(7T),1=1 目满足条件<)和下回由英新读和Bk分别提出的一个必须条 件时,方程组的Dirichlet问题有唯一解.;这个必须条讲是:Aijxi>o(ii) 稍后,华罗庚,吴滋,林伟等证明了在以二2,八=2的 情况下,条件(D)和条件(B)等价,并提出了一个与它们等价的 条件[3]:落存在两个满秩方阵P和G,分别左乘,右乘方 程组(i)的系数A,得A;=PAQ使 nA+(A)R+n,(A)+nA>0则对任意有限域G,方程组(i)的Diricklet问题的解唯一,这 里(A)+(A)=A2,是二维非零关量。一、必须条件的扩充 n是精国边界x+2xy+-h=所国成的区域,其中,β,为实数,xr-B>O,>O,考虑上的方程组 u u+2B+C axoy y(ulon=0的解的唯一性 令u2=(αx2+2pxy+2y2-h)2是实数,i=1, 2,m 代入方程组得 2(Aα+2BB+C)(因u满足,又以=0是方程,的解,所以方程.要有哇一解必须满足:A+2Bβ+CYO,这是吴新谋和 Bu以uk提出的必须条件(ii)现在我们把这个必须条件扩充。