【算两次】单墫.pdf

数学奥林匹克竞赛丛书算两次单博 1992合肥

前言“算两次”,是一种重要的数学方法,也称做富比尼(G Fubini)原理.细心的小学生做完算术题后,常常再算一次,检验结果是否正确．检验,可以原原本本地重算一遍(这样做不太容易发现自己的错误),也可以采用不同的方法,例如减法用加法检验,除法用乘法检验等等.程,我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”(波利亚著《数学的发现》第一卷,欧阳绛译本37页),即将一个量“算两次”,这种手法在几何计算中也极为常见.不仅计算题、求解题需要这样做,在证明中,用两种方法计算同一个量,更是一种行之有效的基本方法.

1几何问题几何中,常常采用“算两次”的方法,例10,与0外切,它们的半径分别为1,Y.外公切线EF切OO于E、切OO2于F.OO与O01、OO及EF相切(如图1)求证O0的半径满足E 图1 图2 解设OO与EF相切于G.由已知 002=r1+r2,00=r-+r,00=r+12.在图2中,过O2作直线O2E.FE,交OE于E.易知OE=r-r2 EF=OE=√(r+r)2-(r-r)2=2√r2.EF还有另一种算法,即 EF=EG+GF.